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题目连接：

题意：求出由全8组成的数的最短长度，使得给定的L能整除它。

分析：先分析公式，可以发现一个全由A组成的数的表示形式为：，所以全8组成的数为：。

L能整除它，则有：，亦即：，则应该先约去8与9L的最大公约数。

因为8与9互素，所以实际上就是约去8与L的最大公约数。

所以进一步有：。

设gcd(a,m)=1，必有正整数x，使得a^x=1(mod m),且设满足等式的最小正整数为x0，必满足x0|phi（m）.注意m>1.

否则如果gcd(a,m)!=1，则方程a^x=1(mod m)没有解。

个人补充：

∵ 8*(10^x - 1 ) / 9 能整除 L

假设 8*(10^x - 1 ) / （9*L） == p （ p 为整数）

∴ 8*(10^x - 1 ) == 9*p*L   ==》 8*(10^x - 1 ) ＝0 mod（9*L)

∵ 8*(10^x - 1 ) == 9*p*L    两边同时约去 gcd(8,L)   得到 p1*(10^x - 1) == 9*p*L/gcd(8,L)

∴ 10^x - 1 == 9*k*L / gcd(8,L)   其中，k = p / p1

于是有 

还有另一种思路：

#include
   
    #include
    
     #include
     
      #include
      
       using namespace std;typedef long long LL;LL dp[1000005];LL gcd(LL a,LL b){	return b? gcd(b,a%b):a;}LL phi(LL n){ // 欧拉函数 	LL rea = n;	for(LL i=2;i*i <= n;i++){		if(n % i == 0){			rea = rea - rea / i ;			while(n % i == 0) n /= i;		}	}	if(n > 1) rea = rea - rea / n;	return rea;}LL Mul(LL a,LL b,LL m){	LL ans = 0;	while(b){		if(b & 1){			ans = (ans+a) % m;			b--;		}		b >>= 1;		a = (a+a) % m;	}	return ans;}LL quick_mod(LL a,LL b,LL m){	LL ans = 1;	a %= m;	while(b){		if(b & 1) {			ans = Mul(ans,a,m);			b--;		}		b >>= 1;		a = Mul(a,a,m);	}	return ans;}int main(){	int k=1;	LL l,m;	while(scanf("%lld",&l) != EOF){		if(l == 0) break;		printf("Case %d: ",k++);		m = 9*l/gcd(8,l);		if(gcd(10,m) != 1){ // 无解情况 			puts("0");			continue;		}		LL ans = phi(m);		LL size = 0;		for(LL i=1;i*i<=ans;i++){ //记录 phi(m) 的因子。 			if(ans % i == 0){				dp[size++] = i;				if(ans != i*i) dp[size++] = ans / i;			}		}		sort(dp,dp+size);		LL i;		for(i=0;i
      
     
    
   

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